# Brownian Motion and Martingales in Analysis (Wadsworth & by Richard Durrett

By Richard Durrett

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Example text

Zu jedem n N gibt es ein k Folge (an ) monoton w¨achst, folgt daraus ank an ank+1 k0 mit nk n < nk+1 . d. Schluss-Bemerkung zu den Axiomen der reellen Zahlen. Mit den K¨orperAxiomen, den Anordnungs-Axiomen, dem Archimedischen Axiom und dem Vollst¨andigkeits-Axiom haben wir nun alle Axiome der reellen Zahlen aufgez¨ahlt. Ein K¨orper, in dem diese Axiome erf¨ullt sind, heißt vollst¨andiger, archimedisch angeordneter K¨orper. Man kann beweisen, dass jeder vollst¨andige, archimedisch angeordnete K¨orper dem K¨orper der reellen Zahlen isomorph § 5 Das Vollst¨andigkeits-Axiom 52 ist, dass also die genannten Axiome die reellen Zahlen vollst¨andig charakterisieren.

Wir geben einige Beispiele f¨ur H¨aufungspunkte. 1) Die durch an := (−1)n definierte Folge (an ) besitzt die H¨aufungspunkte +1 und −1. Denn es gilt lim a2k = 1 und k→∞ lim a2k+1 = −1 . 2) Die Folge an := (−1)n + 1n , n 1, besitzt ebenfalls die beiden H¨aufungspunkte +1 und −1, denn es gilt 1 lim a2k = lim 1 + =1 k→∞ k→∞ 2k und analog lim a2k+1 = −1. 3) Die Folge an := n, n ∈ N, besitzt keinen H¨aufungspunkt, da jede Teilfolge unbeschr¨ankt ist, also nicht konvergiert. 4) Die Folge an := n falls n gerade, 1 n falls n ungerade, ist unbeschr¨ankt, besitzt aber den H¨aufungspunkt 0, da die Teilfolge (a2k+1 )k∈N gegen 0 konvergiert.

H. x < z. 3) Translations-Invarianz x −y Dies folgt aus y − x = (−x) − (−y). Diese Aussagen unterst¨utzen unsere anschauliche Vorstellung der reellen Zahlengeraden. Zeichnet man die Zahlengerade waagrecht, so denkt man sich die positiven Zahlen rechts vom Nullpunkt, die negativen Zahlen links davon. Von zwei Zahlen ist diejenige die gr¨oßere, die weiter rechts liegt. Addition einer Zahl a entspricht einer Verschiebung (nach rechts, wenn a > 0, nach links, ¨ wenn a < 0).