Funktionentheorie. 1. Grundlagen der allgemeinen Theorie der by Knopp K.

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Mengen und Abbildungen Beispiel: (21) Seien A = (2,3,4,5,6}, B = (-1,0,1,2,3} und R = ~ ( x , y ) ' x E A , yEB, y < x}. Veranschaulichung von R" Y _ i -1 1 2 3 4 5 6 -1Es ist (5, 2) E R, abet (2, 5) r R. Es gilt (4,1) E R und (4,2) e R. Beispiel (21) zeigt: Es ist m6glich, dass (x,y) E R und (x,y') E R mit y ~t y'. Folgt hingegen aus (x, y) E R u n d (x, y') E R stets y = y', so heit3t die Relation R eine A b b i l d u n g . Eine Abbildung enthtilt also keine zwei verschiedenen Paare mit identischem ersten Element.

Es ist sup~eD(f ) f ( x ) - 2, abet es existiert kein xo ~. D ( f ) mit f ( x o ) - - 2 . Man sagt" das Supremum wird nicht angenommen. Es darf sup also nicht dutch max ersetzt werden. Andererseits ist inf~eD(f ) f ( x ) = min~eD(f ) f ( x ) = f(--1) = --2. (4) Sei f 9 R --+ R mit D ( f ) - (0,1) und f ( x ) - 2x . Es ist f nach unten beschr~inkt mit i n f x e D ( f ) f ( x ) - 2. Doch ist f nicht nach oben beschr~inkt, sup~eD(f ) f ( x ) existiert nicht. (5) Ist f nach oben beschriinkt (bzw. nach unten beschriinkt), so existiert nach dem Vollst~indigkeitsaxiom (A15) in Kapitel 1 stets s u p ~ e D ( f ) .

Sup f(x) (bzw. I n f i m u m von f'zeD($) xED(I) 9 Existiert fiir ein nach oben beschr~tnktes f (bzw. ein nach unten beschr~tnktes f) ein xo e D ( f ) mit f ( x o ) = sup f(x) (bzw. f(xo) = inf f(x) ), so xED(f) :reD(f) hei6t f(xo) das (globale) M a x i m u m (bzw. das (globale) M i n i m u m ) yon f , und xo hei6t M a x i m a l s t e l l e (bzw. M i n i m a l s t e l l e ) . Man schreibt dann min f ( x ) ) . f ( x o ) - max y(x) (bzw. f ( x o ) - xeD(I) 9 f mit D ( f ) - IR hei6t p e r i o d i s e h mit der P e r i o d e T > 0, falls f ( x + T) f(x) ftir alle x E ~.

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