Funktionentheorie 1 by Eberhard Freitag, Rolf Busam

By Eberhard Freitag, Rolf Busam

Die ersten vier Kapitel dieser Darstellung der klassischen Funktionentheorie vermitteln mit minimalem Begriffsaufwand und auf geringen Vorkenntnissen aufbauend zentrale Ergebnisse und Methoden der komplexen research einer Veränderlichen. Sie gipfeln in einem Beweis des kleinen Riemannschen Abbildungssatzes und einer Charakterisierung einfach zusammenhängender Gebiete. Weitere Themen sind: elliptische Funktionen (Weierstraßscher, Jacobischer Ansatz), die elementare Theorie der Modulformen einer Variablen, Anwendungen der Funktionen- auf die Zahlentheorie (einschl. eines Beweises des Primzahlsatzes). Plus: über four hundred Übungsaufgaben mit Lösungen.

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Mit anderen Worten: Wann ist eine M-lineare Abbildung A : M —)• M auch C-linear? 2 Bemerkung. -lineare Abbildung A: C —^C sind die folgenden vier Aussagen 1) 2) 3) 4) dquivalent: Es existiert eine komplexe Zahl I mit Az = Iz. A ist C-linear. A(i)=iA(l). Die ihr beziiglich der kanonischen Basis 1 (= (1,0)) und i (= (0,1)) zugeordnete Matrix hat die spezielle Gestalt a P —(i a ' ^"' ^ ^ Beweis. Die Aussagen 1), 2) und 3) sind trivialerweise Equivalent. Es geniigt also, die Aquivalenz von 1) und 4) zu zeigen.

Beispielsweise gilt i. a. nicht die Regel / N6 6 6 Beispielsweise gilt unter Benutzung des Hauptwerts - 1 = i - i = ( - 1 ) 1 / 2 . ( _ ^ ^ l / 2 ^ ^ _ ^ ^ . ( _ ^ ^ ) l / 2 ^ ^1/2 ^ ^ Welche der aus dem Reellen gewohnten Rechenregeln gelten, muss man im Einzelfall nachpriifen. Keine Schwierigkeit entsteht, wenn man a* = exp(61oga) fiir reelle und positive a definiert, da man sich dabei auf den gewohnlichen reellen bogarithmus stiitzen kann. Es gilt dann die Rechenregel (oj^aj) = ttjttj (flj > 0, 02 ^ 0) auch fiir komplexe h.

2 zeige man, dass Arg : C_ -^ R stetig ist. Dabei ist C_ die langs der negativen reellen Achse geschlitzte Ebene: C_ := C - { i G R ; t < 0 } . Man folgere, dass der Hauptzweig des Logarithmus in C_ ebenfalls stetig ist. 3. Sei D C R^. Ein Punkt a £ D heifit innerer Punkt (von D), wenn mit a noch eine £-Kugel U^{a) := { x £ R^; \x — a\ < e} in D enthalten ist. Man zeige: D ist offen <;=^ jeder Punkt von D ist innerer Punkt. Eine Teilmenge U C R^ heifit Umgebung von a G R^, wenn U eine £-Kugel U^{a) enthalt.

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