Geloeste Aufgaben zur Differentialrechnung 1 by Degen W., Boehmer K.

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Der Metrik d und x E U. Dann gibt es ein c 1 > 0 mit B(x, c- 1 ) C U. Wir setzen dann c- 2 :=arctan c- 1 > 0 und erhalten B(x, C:z) = {c; E lR : arctan {~EJR: lx-~1 B(x, c:1) C lx- c;l < arctan c:1} 0 mit B((x, y), c 1 ) c Ax B. h. es ist (x, y) E Ax B. 0 ,;~":1st 0 (x, y) E A x B, so existieren ein c 1 > 0 und ein c 2 > 0 mit B(x,c 1 ) cA und B(y,c 2) c B.

4. Kurven im ~n Aufgabe 4 A. It man fUr die BogenHinge L der Kurve f nach An. 2, §4, Satz 1: I b L = llf'(t)ll dt a b - jll(-rsint,rcost,c)lldt a LOsungen 44 Bild3 b - j Jr 2 sin2 t + r 2 cos2 t + c2 dt a a - (b- a)Jr 2 + c2. Aufgabe4B. a) Bild 3 zeigt eine Skizze von I fiir c = 2~ im Bereich - 21r $ t $ 27r. b) I ist eine stetig differenzierbare Kurve mit l'(t) = (cect cost- ect sin t, cect sin t + ect cost) fiir aile t E R. Daher gilt nach An. 2, §4, Satz 1: J11/'{t)ll dt b La,b = a - j J(cect cost - ect sin t) b a 2 + (cect sin t + ect cos t) 2 dt §4.

Im Nullpunkt ist f partiell differenzierbar, da aj (0) =lim f(h,O) =lim ax h-o h Q= h-oh 0 ' 8f (0) =lim /(0, h) = 0. ay h-o h 1st (x, y) E M, so gilt f(x, y) =/= 0 und die Grenzwerte . h. f = li - f(x, y) m --=----'h-o h ist in M nicht partiell differenzierbar. b) Es sei v = (v1, v2) E lR2 mit llvll = 1. Sind v und (1, 1) linearunabhangig, so ist tv rt M fiir alle t E JR* und somit Dvf(O) =lim f(tv)- f(O) =lim 0 - 0 = 0. t t-+0 t-+0 t Sind v und ( 1, 1) linear abhangig, so folgt _ 1. j(tv1, tv2) - f(O) _ 1.

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