Höhere Mathematik für Ingenieure: Band I Analysis by Prof. Dr. rer. nat. Klemens Burg, Prof. Dr. rer. nat.

By Prof. Dr. rer. nat. Klemens Burg, Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Wille (auth.)

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Example text

N, > n. Wegen 2n = n + n 2:: n + 1 folgt daher 2n +1 > n + 1. lles bewiesen. Warum? Bezeichnen wir mit M die Menge aller natiirlichen Zahlen, fiir die 2n > n giiltig ist, so stellen wir fest: 1 E M (nach (I)) und mit n E Mist auch n + 1 E M (nach (II)). h. lle natiirlichen n giiltig. Entscheidend ist also, daB wir die Schritte I (Beweis fiir n = 1) und II (SchluB von n auf n + 1) durchfiihren konnen. llgemein zu folgendem Beweisschema, welches sich von unserem Beispiel nur dadurch unterscheidet, daB die Aussage ,,2n > n" durch A( n) ersetzt wird.

Wieviel Prozent sind es mindestens? 5 Eine Firma stellt elektrische Gerate her, jedes dieser Gerate setzt sich aus 4 Schaltelementen A,B,C,D zusammen. Von den verwendeten Schaltelementen des Typs A arbeiten 95 % einwandfrei, vom Typ B 97 %, vom Typ C 92 % und 6) Nach Rene Descartes (1596-1650), franzosischer Philosoph, Mathematiker und Physiker 20 1 Grundlagen yom Typ D 89 %. ) Vor dem Zusammenbau eines Gerates ist nicht zu erkennen, welche seiner Schaltelemente fehlerhaft sind. Wieviel Prozent einwandfrei arbeitender Gerate sind mindestens zu erwarten?

1 . 2 ·3 ..... k (k EN). Fiir k = 1 bedeutet dies I! = 1, sowie (k + I)! )(k + 1) fiir beliebige kEN. Wiederum der Vollstandigkeit halber erganzt man die Definition durch O! := 1. Damit erhaIt man folgende Darstellung des Binomialkoeffizienten: n! (n-k)! fiir alle k E {a, 1,2, ... 14) durch Erweiterung des Bruches mit (n - k)!. Fiir k = 0 ergibt sich die Gleichung unmittelbar. 16) leitet man leicht folgende Formeln her: (n:k)' (:) (n~l) = (:) kE{O,l, ... ,n} + (k:1),kE{1, ... 18) fUr aile n E N U {O} .

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