Höhere Mathematik für Ingenieure, Band I: Analysis 7. by Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille

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2! 23): Wir wollen zunächst davon ausgehen, daß die anzuordnenden Elemente mit zusätzlichen oberen Indizes durchnumeriert sind: a11 , a12 , . . , a1k1 , a2k1 +1 , a2k1+2 , . . , a2k1+k2 , k1 k2 ... +kn−1 +1 , ar 1 , . . , arn kr Aus ihnen lassen sich genau n! Permutationen bilden. Ersetzen wir nun alle Elemente a11 , . h. »identifizieren« wir die Elemente a11 , . , a1k1 , so werden alle Permutationen gleichgesetzt, die durch Umstellungen der a11 , . , a1k1 auseinander hervorgehen. Es gibt aber genau k1 !

Damit erhält die binomische Formel die knappe Form n (a + b)n = k=0 n n−k k a b k Sie gilt für alle n ∈ N0 . 1 Reelle Zahlen 27 Das Produkt 1 · 2 · 3 · . . , sprich »k Fakultät« , also: k! := 1 · 2 · 3 · . . · k (k ∈ N). Für k = 1 bedeutet dies 1! = 1, sowie (k + 1)! )(k + 1) für beliebige k ∈ N. Wiederum der Vollständigkeit halber ergänzt man die Definition durch 0! := 1 . Damit erhält man folgende Darstellung des Binomialkoeffizienten: n n! (n − k)! für alle k ∈ {0,1,2, . . 14) durch Erweiterung des Bruches mit (n − k)!.

Der Beweis der Formel verläuft nach dem Muster des Beweises für die binomische Formel. 15 Das Zeichen ≈ bedeutet »ungefähr gleich« . ≈ ist kein mathematisch exaktes Zeichen. Es wird daher nicht in strengen Beweisen, Definitionen oder Sätzen benutzt, sondern nur in Beispielen und Plausibilitätsüberlegungen. 10: Leite mit Hilfe der geometrischen Reihe die folgende Formel her: x n − an = x n−1 + x n−2 a + x n−3 a 2 + . . + a n−1 , x −a x, a∈R x = a, n ∈ N, n ≥ 2. 11*: Beweise, daß für alle n ∈ N gilt: n n n n n − + − + − · · · + (−1)n = 0.

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