Mathématiques Méthodes et exercices 2e annee ECS by C.Lardon, JM.Monier

By C.Lardon, JM.Monier

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On conclut que, si A ou B est inversible et si AB est diagonalisable, alors BA est diagonalisable. b) Montrons que le résultat précédent n’est pas valable sans l’hypothèse d’inversibilité, pour n = 2, par exemple. Considérons : On a : AB = A= 01 , 00 B= 11 . 00 00 , donc AB est diagonalisable. 00 01 , qui n’est pas diagonalisable. En 00 effet, BA est triangulaire (supérieure), donc les valeurs propres de BA se lisent sur sa diagonale, BA n’admet que 0 pour valeur propre ; si BA était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice nulle, donc serait égale à la matrice nulle, contradiction.

On a alors M 2 = A. 2) Le cas où B est supposée inversible se traite de la même façon. On conclut que, si A ou B est inversible et si AB est diagonalisable, alors BA est diagonalisable. b) Montrons que le résultat précédent n’est pas valable sans l’hypothèse d’inversibilité, pour n = 2, par exemple. Considérons : On a : AB = A= 01 , 00 B= 11 . 00 00 , donc AB est diagonalisable. 00 01 , qui n’est pas diagonalisable. En 00 effet, BA est triangulaire (supérieure), donc les valeurs propres de BA se lisent sur sa diagonale, BA n’admet que 0 pour valeur propre ; si BA était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice nulle, donc serait égale à la matrice nulle, contradiction.

Il existe alors t ∈ E tel que x = u1 (t), d’où : k f (x) = On conclut : λ ∈ [−2 ; 2]. 29 αi ui ◦ u1 (t) = α1 u21 (t) = α1 u1 (t) = α1 x. i=1 = 0 si i 1 De même : a) Soit i ∈ 1 ; k . On a : ∀i ∈ 1 ; k , ∀x ∈ Bi , f (x) = αi x. k k ui = e ◦ ui = u j ◦ ui = j=1 (u j ◦ ui ). j=1 On a donc : D’après l’hypothèse, u j ◦ ui est nul lorsque j i, donc : ⎛ ⎞ (0) ⎟⎟ ⎜⎜⎜α1 In1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ , .. MatB ( f ) = ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ . ⎜⎝ ⎠ (0) αk Ink où, pour chaque i ∈ 1 ; k , on a noté ni = dim Im (ui ) . k u j ◦ ui = ui ◦ ui = u2i On conclut que f est diagonalisable.

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