Numerische Mathematik: Eine Einführung anhand von by Walter Zulehner

By Walter Zulehner

"Numerische Mathematik", aufgeteilt in zwei Bände, ist eine Einführung in die Numerische Mathematik anhand von Differentialgleichungsproblemen. Gegliedert nach elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen wird zunächst jeweils die Diskretisierung solcher Probleme besprochen. Als Diskretisierungstechniken stehen Finite-Elemente-Methoden im Raum und (partitionierte) Runge-Kutta-Methoden in der Zeit im Vordergrund. Die diskretisierten Gleichungen dienen als Motivation zur Diskussion von Methoden für endlichdimensionale lineare und nichtlineare Gleichungen, die anschließend als eigenständige Themen behandelt werden. Auf diese Weise wird versucht, nicht nur ein einführendes sondern auch ein in sich abgeschlossenes Bild der Numerischen Mathematik, zumindest in einem zentralen Aufgabenbereich, zu vermitteln.

Der zweite Band setzt mit der Diskussion parabolischer und hyperbolischer Anfangsrandwertprobleme citadel. Die durch Semi-Diskretisierung im Raum entstehenden Anfangswertprobleme dienen als Einstieg und Motivation der anschließenden Behandlung allgemeiner Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung. Schließlich werden die für diese allgemeinen Problemstellungen erarbeiteten Erkenntnisse auf semi-diskretisierte parabolische und hyperbolische Probleme angewendet.

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Contra arma verbis. Der Redner vor dem Volk in der späten römischen Republik

Die Redekunst vor dem Volk im 1. Jahrhundert v. Chr. als aspect der politischen Strategie der Politiker sowie die artwork und Weise, wie ihre Reden die Bevolkerung Roms erreichten und diese beeinflussten, sind die Hauptthemen dieses Buches. Die romischen Volksversammlungen (contiones) werden als Schauplatz der politischen Debatte, als Rahmen fur eine direkte Verbindung mit der Plebs, als Quelle der Popularitat eines Redners sowie der politischen Propaganda untersucht.

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Dann ist das explizite EulerVerfahren konvergent und es gilt die Absch¨atzung tj u(tj ) − uj ≤ etj L u (t) dt f u¨ r alle j = 0, 1, . . , m. 0 Im Speziellen gilt (j = m): e X ≤CK T mit C = eTL und K = u (t) dt. 4 Erweiterung auf explizite Runge-Kutta-Verfahren Das explizite Euler-Verfahren ist sehr einfach zu verstehen, sehr einfach durchzuf u¨ hren und eignet sich daher besonders gut, die wesentlichen Konzepte einzuf u¨ hren und die grunds¨atzliche Strategie der Konvergenzanalyse klar zu machen.

4 Erweiterung auf explizite Runge-Kutta-Verfahren Ein Verfahren besitzt Konsistenzordnung p, falls es eine Konstante K gibt, sodass (u) ≤K Y p . Das verbesserte Euler-Verfahren besitzt also die Konsistenzordnung 2. Explizite s-stufige Runge-Kutta-Verfahren Die Konstruktion von N¨aherungsverfahren nach dem bisherigen Prinzip l¨asst sich leicht verallgemeinern. 4)): b1 f (t, u(t)) + b2 f (t + c2 , u(t + c2 )) + · · · + bs f (t + cs , u(t + cs )) mit Koeffizienten bi , ci f u¨ r i = 1, 2, . . , s, wobei wir stets c1 = 0 w¨ahlen.

Bemerkung. Das explizite Euler-Verfahren spielt nicht nur in der Numerischen Mathematik sondern auch in der Analyse von Anfangswertproblemen eine bedeutende Rolle. Es liefert f u¨ r beliebige Intervallunterteilungen eine N¨aherungsl¨osung. Unter den Bedingungen des Satzes von Picard-Lindel¨of lassen sich solche N¨aherungsl¨osungen finden, die eine Cauchy-Folge im vollst¨andigen Raum der stetigen Funktionen C([0, T], Rn) bilden und daher eine stetige Funktion u(t) als Grenzwert besitzen. Von dieser Funktion zeigt man leicht, dass sie eindeutige L¨osung des Anfangswert¨ problems ist.

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